Poisson beslag

I matematik og klassisk mekanik, Poisson beslag er en stor operatør af den Hamiltonske mekanik, som et centralt element i at definere den tidsmæssige udvikling af et dynamisk system i Hamiltonske formulering. Fra et mere generelt synspunkt, er Poisson beslag bruges til at definere en Poisson algebra, hvoraf Poisson sorter er et særligt tilfælde. Alle disse er opkaldt efter Siméon Denis Poisson.

Canonical koordinater

Ofte Poisson beslag defineres uløseligt ikke bruger et sæt koordinater på faserummet af systemet. Brug kanoniske koordinater på fase plads, kan Poisson beslag udtrykkes som:

Mere formelt, hvis en lokal charter, der er forbundet med de kanoniske koordinater defineret ovenfor, dvs:

Poisson beslag pullback givet i den tidligere ansøgning:

Bevægelsesligninger

De bevægelsesligninger af Hamilton-Jacobi har et tilsvarende udtryk i form af Poisson beslag. Dette kan påvises direkte at tage nogle eksplicitte koordinater. Forestil dig en rolle i udvælgelsen. Det skal så

Derefter kan opkald til og opløsningerne af Hamilton-Jacobi ligninger, og man skrive

Således kan udviklingen i en funktion f i en symplectic manifold gives som en parameter familie af variemorfismos, på sigt at parameteren t. Det kassere dimensionerne er gyldige

Operatøren kaldes liouvilliano.

Konstant bevægelse

Et integreret dynamisk system skal have konstant bevægelse udover energi. En sådan konstant forvandlet med Hamiltonske under Poisson beslag. Forestille sig, at funktionen er en konstant bevægelse. Det indebærer, at hvis en bane eller løsning af bevægelsesligninger af Hamilton-Jacobi, så er du nødt til langs banen. Så

hvor der som ovenfor er de mellemliggende trin udføres ved hjælp af bevægelsesligninger. Denne ligning er kendt som Liouville ligningen. Indholdet af Liouville teorem er, at udviklingen af ​​en foranstaltning er givet ved ovenstående.

For en Hamiltonian system er fuldstændig integrabel, skal alle konstanter bevægelse være gensidig involution.

Generel definition

Lad M være en symplectic sort, dvs. et område, hvor der er en symplectic formular: en differentiel form af anden orden, der både lukkede og ikke-degenererede i følgende forstand: når det ligner et kort, er det inverteres for. Her anvendes som det ydre derivat, iboende operatør struktur manifold M, og er differentialkvotienten tensor inden for eller sammentrækning drift, hvilket svarer til første ordens differentialformer.

Brug af aksiomer af udvendige kalkyle, kan man udlede:

Her betegner Lie beslag i bløde vektorfelter, som i det væsentlige definerer strukturen af ​​forskellige M.

Hvis v er sådan, at du kan ringe -cocerrado. Til gengæld hvis det er sandt for enhver funktion f, kan vi kalde -coexacta av. Da dette indebærer, at Lie beslag af to vektorer er altid en coexacto cocerrados vektor felt, fordi når w er begge cocerrados, den eneste ikke-nul sigt i udtrykket. Og som det ydre derivat adlyder al vektor felter er cocerrados coexactos, så Lie beslaget er lukket i begge rum og vektorfelter cocerrados underrum af det bestående af coexactos vektorfelter. På det sprog, abstrakt algebra, de cocerrados vektorfelter danner en subalgebra af Lie algebra af glatte vektorfelter på M, og vektorfelter coexactos danne en ideel denne subalgebra.

I betragtning af eksistensen af ​​den omvendte kortet, kan alle bløde reelle funktioner f på M være forbundet til en vektor felt coexacto. Således definerer vi Poisson beslaget som en bilineær operation på differentiable funktioner, der fungerer udgør en algebra. Dette er givet ved:

Denne skæv symmetri af Poisson beslaget er sikret med de aksiomer af udvendig calculus og tilstand. Som kortet er lineær i alle punkter og skrå symmetri, nogle forfattere er forbundet med en bivector, et objekt, der ikke ofte findes på ydersiden beregning. På denne måde kaldes bivector Poisson eller Poisson struktur på symplectic manifold, og er betegnet med.

Poisson beslag på glatte funktioner svarer til Lie beslaget i coexactos vektorfelter og arver alle dens egenskaber. Det opfylder Jacobi identitet:

Poisson konsol om et skalarfelt f svarer til omkring Lie derivat. Så det er en afledt, og dermed opfylder Leibniz regel:

En fundamental egenskab af sorterne er, at ombytningsoperationer Lie derivat af to vektorfelter er ækvivalent med Lie derivatet med hensyn til en vektor felt, som er Lie beslag er. Den parallelle rolle Poisson beslag fremgår af et arrangement af Jacobi identitet:

Hvis Poisson beslag af f og g er nul, så siger vi, at f og g er i gensidig involution, og foretage operationer Poisson beslag med hensyn til f og g pendler.

Lie algebra

Poisson parentes er anticonmutativos. De opfylder også Jacobi identitet. Dette gør rummet af glatte funktioner af en symplektisk manifold er en Lie algebra med uendelig-dimensional Poisson beslag fungerer som Lie beslag. Den tilsvarende Lie gruppe er den gruppe af symplektiske sorter symplectomorphisms.

Givet en differentiabel vektor felt X tangent i miljøet, er dens konjugerede tid. Kortet over konjugatet impuls er en Lie algebra antihomomorfa fra Poisson beslag Lie beslag:

Det er et vigtigt resultat værd at vise. Vi skriver en skalarfelt X på det punkt q som konfigurationen plads

som den henviser til det lokale koordinatsystem. Konjugat når X har form

hvor funktionerne tidskoordinater konjugat. Så har vi, til et punkt i fase rummet,

Dette gælder for alle, at nå det ønskede resultat.

  0   0
Forrige artikel Kosak
Næste artikel Sergio Vieira de Mello

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha