Differentialligning

En differentialligning er en ligning, hvor du er involveret afledt fra en eller flere ukendte funktioner. Afhængig af antallet af uafhængige variable, som der stammer differentialligninger er opdelt i:

  • Ordinære differentialligninger: dem, der indeholder derivater med hensyn til en enkelt uafhængig variabel.
  • Partielle differentialligninger: dem, der indeholder derivater i forhold til to eller flere variable.

Historie

  • Fødslen af ​​videnskaben om differentialligninger er fastsat til 11 November 1675, da Leibnitz afregnes på papir Integral og differentialligning og halvdelen firkant og
  • Newton formulerede tyngdeloven, efter at løse det tilsvarende system af differentialligninger for at bevise, at Jorden bevæger sig rundt om solen, der beskriver en ellipse om en af ​​hvis foci er solen.
  • Maxwell udtænkt en sammenhæng mellem elektrisk strøm og den tilsvarende magnetfelt.
  • De differentialligninger har spillet en rolle i udviklingen af ​​teorier om radio, radar, tv og samlede effekt rolle.

Introduktion

  • For eksempel overveje loven, baseret på erfaringer, at radium henfalder med en hastighed proportional med mængden af ​​radium nuværende hastighed, et faktum, der er beskrevet ved ligningen

En differentialligning er en ligning, der indeholder ord eller udtryk, der involverer ukendte matematisk funktion og dets derivater. Eksempler på differentialligninger er:

  • Expression

Den afhængige variabel kaldes også ukendt funktion. Løsning af differentialligninger er en form for matematisk problem Søger en funktion, der opfylder en bestemt differentialligning. Det kan opnås ved en særlig metode til differentialligningen pågældende eller af en transformeret.

Bestil ligning

Jo højere ordens afledte kaldes en differentialligning grads ligning.

Grad af ligningen

Det er kraften af ​​højere ordens afledte i ligning så længe ligningen er i polynomiel form ellers anses for at have nogen grad.

Lineær differentialligning

Det siges, at en ligning er lineær, hvis den har form, nemlig:

  • Hverken funktion eller dets derivater er høj til nogen anden end en eller nul strøm.
  • I hver koefficient, der vises multiplikation griber eneste uafhængige variabel.
  • En lineær kombination af løsninger er også en løsning af ligningen.

Eksempler:

Applikationer

De differentialligninger er meget udbredt i alle grene af teknik til modellering fysiske fænomener. Dens anvendelse er almindelig i både anvendt videnskab, som i de grundlæggende videnskaber og matematik, og økonomi.

  • I strukturelle dynamik, differentialligningen der definerer bevægelsen af ​​en struktur er:

Hvor M er massen matrix beskriver strukturen, C er dæmpningen matrix beskriver strukturen, K er stivhedsmatricen som beskriver stivheden af ​​strukturen, x er vektoren af ​​strukturen forskydning, er P kraftvektoren, og t angiver tiden. Dette er en anden ordens ligning, fordi det har forskydningen xy dens første og anden afledede med hensyn til tiden.

  • Vibrationen af ​​en streng beskrives ved følgende differentialligning i partielle afledede af anden orden:

hvor er tiden og er koordinaten for punkt på rebet og en konstant svarende til udbredelseshastigheden af ​​bølgen. Denne ligning kaldes bølgeligningen.

Semilinear og quasilinear ligninger

Der er ingen generel metode til at løse lineære differentialligninger. Imidlertid kan løses nogle særlige tilfælde af ikke-linearitet selv. Af interesse er de semi-lineære tilfælde og quasilinear sag.

En almindelig differentialligning af orden n kaldes quasilinear hvis det er "lineære" i den afledede af orden n. Mere specifikt hvis den almindelige differentialligning for funktionen kan skrives som:

Det siges, at denne ligning er quasilinear hvis en relateret funktion, dvs.

En almindelig differentialligning af orden n kaldes semilinear hvis den kan skrives som summen af ​​et "lineært" funktion af derivatet af orden n over en funktion af andre derivater. Formelt hvis sædvanlig differentialligning for funktionen kan skrives som:

Det siges, at denne ligning er semilinear hvis en lineær funktion.

Opløsning af en differentialligning

Typer løsninger

En opløsning af en differentialligning er en funktion til at erstatte ukendt funktion, i hvert tilfælde med tilsvarende haner, opfylder ligningen, dvs. det gør en identitet. Der er tre typer af løsninger:

  • Generel løsning: en generisk løsning, udtrykt i en eller flere konstanter.
Generelle løsning

Det er en buet bjælke. Det har en rækkefølge af uendelighed i henhold til deres antal konstanter. I tilfælde af ligningen er lineær, er den generelle løsning opnået som en lineær kombination af opløsninger af den homogene ligning over et bestemt opløsning af den fuldstændige ligning.

  • Bestemt løsning: Hvis indstilling ethvert punkt, hvor den nødvendigvis skal passere opløsning af differentialligningen, er der kun én værdi af C, og dermed den integrerede kurve, der opfylder ligningen, vil det blive kaldt bestemt løsning af ligningen punkt, som kaldes den oprindelige tilstand.
Bestemt løsning

Det er et særligt tilfælde af den generelle løsning, hvor hele tiden får en bestemt værdi.

  • Enestående løsning: en funktion, der opfylder ligningen, men det er ikke opnået particularizing den generelle løsning.
Singular løsning

Sammenhængende løsning af ligningen i en bestemt samlet.

Opløsning af nogle ligninger

  • Første-ordens differentialligning
  • Lineær differentialligning
  • Præcis differentialligning
  • Jacobi ligningen
  • Clairaut ligning og også kaldet differential state ligninger som de lineære ligninger i to variable, de er tangent.
  0   0
Forrige artikel Giovanni Battista Castello
Næste artikel Fabiola Ramos

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha