Abelsk gruppe

FONT SIZE:
fontsize_dec
fontsize_inc
August 8, 2016 Geir Reidar A 0 2

I betragtning af en algebraisk struktur på et sæt A, og en binær operation eller intern præparat lov "". Det siges, at strukturen er en abelsk gruppe med hensyn til driften, hvis:

  •  Gruppe har algebraisk struktur.
  •  Det har den kommutativitet.

Abelske grupper er opkaldt til ære for den norske matematiker Niels Henrik Abel, der brugte disse grupper i studiet af algebraiske ligninger opløselige ved radikaler. Grupper, der ikke er kommutativ kaldes non abelsk.

Notation

Der er to primære notationer for abelske grupper: additive og multiplikative, er beskrevet nedenfor.

Den multiplikative notation er ingen anden end sædvanligt notation for grupper, mens additivet er den sædvanlige notation modulet. Når du arbejder med lige abelske grupper, der normalt tilsætningsstoffet notation anvendes.

Eksempler

Alle cykliske gruppe G er abelsk, for hvis x, y ∈ G = & lt; a & gt; x = y og til visse M = en, n heltal, således, x = a = a = a = a = x. Især Z-gruppen af ​​heltal under tilsætning er Abelian, ligesom gruppe af hele tal modulo n, Zn.

Reelle tal udgør en abelsk gruppe med tillæg, som nul reelle multiplikation.

Hver ring er en abelsk gruppe med hensyn til tilsætning. I en kommutativ ring de invertible elementer danner en abelsk gruppe under multiplikation.

Hver undergruppe af en abelsk gruppe er normal, og derfor til enhver undergruppe er en kvotient gruppe. Undergrupper, kvotienten grupper og direkte summer af abelske grupper er også abelsk.

Egenskaber

  • Hvis n er et naturligt tal og x er et element i et Abelian gruppe G, kan man definere nx = x + x + ... + x, x = -, hvilket modul G i ringen af ​​heltal Z bliver. Faktisk modulerne er ingen anden end Z abelske grupper.
  • Hvis f, g: G → H er to homomorfier mellem abelske grupper, deres sum = f + g) er også en homomorfi; det er ikke sandt generelt for ikke abelske grupper. Med denne operation sættet af homomorfier mellem G og H bliver altså et Abelian gruppen selv.

Finite abelske grupper

Gruppen af ​​heltal modulo n er en gruppe med driften af ​​tillæg modulo n. Denne gruppe er abelsk og begrænset.
Følgende output indikerer, at ovenstående danner grundstrukturen af ​​alle finite Abelian grupper.

Sætning: Enhver endelig abelsk gruppe G er isomorf til, hvor er primtal.
Heltal er unikke medmindre ordren.

Overvej et par eksempler.

Isomorfi er der fem abelske grupper med 16 elementer.
For at vise dette, først bemærke, at 16 = 2, således at de forskellige former for brud 16 som følge af højere naturligt at 1 er :.
Derfor er en abelsk gruppe med 16 elementer er isomorf til én og kun én af følgende:.

Hver abelsk gruppe af orden 30 er isomorf til.
Dette er fordi der er ingen anden måde at skrive 30 som et produkt af beføjelser primtal.

En tilsvarende måde at give ovenstående sætning er:

Sætning: Enhver endelig abelsk gruppe G er isomorf til, hvor er heltal større end 1, der kontrollerer. Heltal er unikke.

Det følger af det foregående sætning er isomorf at bruge, når n og m er relativt prime.

  0   0
Forrige artikel Clara de la Rocha
Næste artikel DAKANEH

Kommentarer - 0

Ingen kommentar

Tilføj en kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tegn tilbage: 3000
captcha